Question

20．命題p：?b∈R，使直線y=-x+b是曲線y=x³-3ax的切線．若?p為真，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $a＜\frac{1}{3}$
• B． $a≤\frac{1}{3}$
• C． $a＞\frac{1}{3}$
• D． $a≥\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 寫出命題p的否定，求出f（x）=x³-3ax的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的范圍，結(jié)合￢p為真可得關(guān)于a的不等式，則a的范圍可求．

解答 解：由命題p：?b∈R，使直線y=-x+b是曲線y=x³-3ax的切線，得
?p：對任意的實數(shù)b，直線y=-x+b都不是曲線y=x³-3ax的切線．
由?p為真．
設(shè)f（x）=x³-3ax，求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=3x²-3a∈[-3a，+∞），
對任意的實數(shù)b，直線y=-x+b都不是曲線y=x³-3ax的切線，
∴-3a＞-1，得a＜$\frac{1}{3}$．
即實數(shù)a的取值范圍為a$＜\frac{1}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程，考查直線的斜率與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查計算能力，是中檔題．