Question

20．已知?jiǎng)訄AC過點(diǎn)F（1，0），且與直線x=-1相切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；并求當(dāng)圓C的面積最小時(shí)的圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的軌跡曲線E，直線y=$\frac{1}{2}$x+b與圓C₁和曲線E交于四個(gè)不同點(diǎn)，從左到右依次為A，B，C，D，且B，D是直線與曲線E的交點(diǎn)，若直線BF，DF的傾斜角互補(bǔ)，求|AB|+|CD|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意圓心為M的動(dòng)圓M過點(diǎn)（1，0），且與直線x=-1相切，利用拋物線的定義，可得圓心M的軌跡是以（1，0）為焦點(diǎn)的拋物線；圓心C在原點(diǎn)時(shí)，圓C的面積最小，可得圓C₁的方程；
（Ⅱ）先求出b，再利用韋達(dá)定理，結(jié)合|AB|+|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₁-x₃）+$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₂-x₄）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x₁+x₂-x₃-x₄），可得結(jié)論．

解答 解：（I）∵動(dòng)圓圓心到點(diǎn)F（1，0）的距離等于到定直線x=-1的距離，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡C為以F為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y²=4x．
圓心C在原點(diǎn)時(shí)，圓C的面積最小，此時(shí)圓C₁的方程為x²+y²=1；
（II）F（1，9），設(shè)B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（x₃，y₃），C（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+b}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得x²+（4b-16）x+4b²=0，△＞0，b＜2，
x₁+x₂=16-4b，x₁x₂=4b²，
∵直線BF，DF的傾斜角互補(bǔ)，
∴k_BF+k_DF=0，
∵k_BF+k_DF=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$，
∴y₂（x₁-1）+y₁（x₂-1）=0，
∴x₁x₂+（b-$\frac{1}{2}$）（x₁+x₂）-2b=0，
代入解得b=$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+2x-25=0，∴x₃+x₄=-$\frac{2}{5}$，
∴|AB|+|CD|=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₁-x₃）+$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$（x₂-x₄）=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（x₁+x₂-x₃-x₄）=$\frac{36\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓、直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．