Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（x²+ax-a+1），其中a是常數(shù)．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若關于x的方程f（x）=e^x+k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,根的存在性及根的個數(shù)判斷,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，求出切點和切線的斜率，由點斜式方程，即可得到切線方程；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）求得的導數(shù)，若f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立，運用判別式不大于0，即可得到；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-e^x=e^x（x²+ax-a），則關于x的方程g（x）=k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根．求g（x）的導數(shù)，討論a≥-2時，a＜-2時的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，從而加以判斷即可．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=e^x（x²+ax-a+1）可得f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]．
當a=1時，f（1）=2e，f'（1）=5e
所以 曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-2e=5e（x-1）
即5ex-y-3e=0；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+1]，
若f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，則f'（x）≥0恒成立，
即x²+（a+2）x+1≥0恒成立，∴△=（a+2）²-4≤0，-4≤a≤0，
所以a的取值范圍為[-4，0]．
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-e^x=e^x（x²+ax-a），
則關于x的方程g（x）=k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根．
令g′（x）=e^x（x²+（2+a）x）=0，
解得x=-（a+2）或x=0．
當-（a+2）≤0，即a≥-2時，在區(qū)間[0，+∞）上，g′（x）≥0，
所以g（x）是[0，+∞）上的增函數(shù)．
所以 方程g（x）=k在[0，+∞）上不可能有兩個不相等的實數(shù)根．
當-（a+2）＞0，即a＜-2時，g'（x），g（x）隨x的變化情況如下表

x	0	（0，-（a+2））	-（a+2）	（-（a+2），+∞）
g'（x）	0	-	0	+
g（x）	-a	↘	a+4 ea+2	↗

由上表可知函數(shù)g（x）在[0，+∞）上的最小值為g(-(a+2))=

a+4

ea+2

．
因為 函數(shù)g（x）是（0，-（a+2））上的減函數(shù)，是（-（a+2），+∞）上的增函數(shù)，
且當x→+∞時，g（x）→+∞
所以要使方程g（x）=k即f（x）=e^x+k在[0，+∞）上有兩個不相等的實數(shù)根，
k的取值范圍必須是(

a+4

ea+2

，-a]．

點評：本題考查導數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，求極值和最值，同時考查方程的根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．