Question

17．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（-1，1）上是增函數(shù)的是（　　）

• A． y=cos（$\frac{π}{2}$+x）
• B． y=-$\frac{2}{x}$
• C． y=ln$\frac{2-x}{2+x}$
• D． y=2^x-2^-x

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，以及奇函數(shù)的定義便可判斷每個(gè)選項(xiàng)的正誤，從而找出正確選項(xiàng)．

解答 解：A.$y=cos（\frac{π}{2}+x）$=-sinx；
∵y=sinx在（-1，1）上單調(diào)遞增；
∴y=-sinx在（-1，1）上是減函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．反比例函數(shù)$y=-\frac{2}{x}$在（-1，1）上沒有單調(diào)性，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤．
C.$y=ln\frac{2-x}{2+x}=ln（-1+\frac{4}{2+x}）$；
該函數(shù)定義域?yàn)椋?2，2）；
函數(shù)$t=-1+\frac{4}{2+x}$在（-2，2）上單調(diào)遞減，且y=lnt單調(diào)遞增；
∴復(fù)合函數(shù)$y=ln（-1+\frac{4}{2+x}）$在（-2，2）上為減函數(shù)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．y=2^x-2^-x的定義域?yàn)镽，且2^-x-2^-（-x）=-（2^x-2^-x）；
∴該函數(shù)為奇函數(shù)；
且y=2^x為增函數(shù)，y=2^-x為減函數(shù)，y=-2^-x為增函數(shù)；
∴y=2^x-2^-x在（-1，1）上為增函數(shù)，∴該選項(xiàng)正確．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)、反比例函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，奇函數(shù)的定義，增函數(shù)的定義，分離常數(shù)法的運(yùn)用．