Question

過(guò)點(diǎn)（1，

1

3

）作圓x²+y²=1的切線，切點(diǎn)分別為A、B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)點(diǎn)P（1，

1

3

），O（0，0）．以線段OP為直徑的圓的方程為：（x-

1

2

）²+（y-

1

6

）²=

5

36

．與方程x²+y²=1相減得x+

1

3

y=1．由此求出焦點(diǎn)為（1，0），上頂點(diǎn)為（0，3）．從而能求出橢圓的方程．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)P（1，

1

3

），O（0，0）．
則以線段OP為直徑的圓的方程為：（x-

1

2

）²+（y-

1

6

）²=

5

36

．
與方程x²+y²=1相減得x+

1

3

y=1．
令x=0，得y=3；令y=0，得x=1．
∴焦點(diǎn)為（1，0），上頂點(diǎn)為（0，3）．
∴c=1，b=3．a(chǎn)²=b²+c²=10．
∴橢圓的方程為

x2

10

+

y2

9

=1．
故答案為：

x2

10

+

y2

9

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．