Question

如圖，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，CD∥AB，CD⊥DA且PD=DA=AB=

1

2

DC=2．設(shè)PB中點(diǎn)為E．
（1）證明：平面PBD⊥平面PBC；
（2）在線段DB上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面PBC？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置（DF的長(zhǎng)度）；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明BC⊥平面PBD，即可證明平面PBD⊥平面PBC；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用EF⊥平面ABCD，可得

EF

•

PB

=0，

EF

•

PC

=0，即可得出結(jié)論；
（3）利用等體積法V_A-PBC=V_P-ABC，可得點(diǎn)A到平面PBC的距離．

解答： （1）證明：直二面角P-DC-B的平面角為∠PDA=90°，
又PD⊥DC，則PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BC．
又在平面四邊形ABCP中，由已知數(shù)據(jù)易得BD⊥BC，
而PD∩BD=D，
故BC⊥平面PBD，
因?yàn)锽C?平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC…（4分）
（2）解：由（1）的分析易知，PD⊥DA，PD⊥DC，DC⊥DA，則以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合已知數(shù)據(jù)可得A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），P（0，0，2），
則PB中點(diǎn)E（1，1，1）．∵F∈平面ABCD，故可設(shè)F（x，y，0），
則

EF

=(x-1，y-1，-1)，
∵EF⊥平面ABCD，
∴

EF

•

PB

=0，

EF

•

PC

=0，又

PB

=(2，2，-2)，

PC

=(0，4，-2)，
由此解得x=y=

1

2

，即F(

1

2

，

1

2

，0)，易知這樣的點(diǎn)F存在，且為線段BD上靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn)；即DF=

2

2

…（8分）
（3）解：等體積法∵V_A-PBC=V_P-ABC，∴

1

3

S△PBC•h=

1

3

S△ABC•2，
∴

1

2

×2

2

×2

3

h=

1

2

×2×2×2，
∴h=

6

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)A到平面PBC的距離，考查平面與平面垂直的判定，考查線面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．