Question

下列敘述中：
①函數(shù)f（x）=x^α（α∈R）的圖象可能通過坐標系中任何一個象限；
②函數(shù)f（x）=log_a（mx²-mx+1）（a＞0，a≠1）定義域為R，則m∈（0，4）；
③若min{m，n}=

m (m≤n) n (m＞n)

，則函數(shù)f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}存在最大值；
④函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在定義域內單調遞增；
⑤已知函數(shù)f（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）+2（a＞0，a≠1，b，c∈R），若x＞0時，f（x）≥5，則x＜0時，有f（x）≤-1．
其中，正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：本題可以利用函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)圖象特征研究上述問題，判斷其正確性，對于不正確的命題，可以列出反例加以說明．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x^α（α∈R）中，
當x＞0時，x^α＞0，
∴函數(shù)f（x）=x^α（α∈R）的圖象不通過坐標系中第四象限．
故命題①不正確；
（2）當函數(shù)f（x）=log_a（mx²-mx+1）（a＞0，a≠1）定義域為R，
可取m=0，得到f（x）=log_a1=0，定義域為R，
而m∉（0，4）．
故命題②不正確；
（3）∵取小函數(shù)min{m，n}=

m (m≤n) n (m＞n)

，
函數(shù)f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}，
∴f（x）的圖象草圖為下圖中

曲線y=x

1

3

位于點A左側部分，以及y=2^x-2位于點A、B間的部分，和y=1-3x位于點B右側的部分．
最高點為點B．
∴函數(shù)f（x）=min{x

1

3

，2^x-2，1-3x}存在最大值．
命題③正確；
（4）當0＜a＜1時，
u=a^x-1為（-∞，0）上的減函數(shù)，值域（0，+∞），
y=log_au為（0，+∞）上的減函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）定義域為（-∞，0），
∴函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在（-∞，0）內單調遞增；
當a＞1時，
u=a^x-1為（0，+∞）上的增函數(shù)，值域（0，+∞），
y=log_au為（0，+∞）上的增函數(shù)；
∴函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）定義域為（0，+∞），
即函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在（0，+∞）內單調遞增；
綜上，函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）在定義域內單調遞增，
故命題④正確；
（5）∵函數(shù)g（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）（a＞0，a≠1，b，c∈R），
∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．
∵函數(shù)f（x）=x³+bx+clog_a（

x2+1

+x）+2（a＞0，a≠1，b，c∈R），
若x＞0時，f（x）≥5，則g（x）≥3，
則x＜0時，有g（x）≤-3，f（x）≤-1．
故命題⑤正確．
故答案為：③④⑤．

點評：本題考查了函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)圖象，本題難度不大，屬于基礎題．