下列敘述中:
①函數(shù)f(x)=xα(α∈R)的圖象可能通過坐標系中任何一個象限;
②函數(shù)f(x)=loga(mx2-mx+1)(a>0,a≠1)定義域為R,則m∈(0,4);
③若min{m,n}=
m (m≤n)
n (m>n)
,則函數(shù)f(x)=min{x
1
3
,2x-2,1-3x}存在最大值;
④函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在定義域內單調遞增;
⑤已知函數(shù)f(x)=x3+bx+cloga
x2+1
+x)+2(a>0,a≠1,b,c∈R),若x>0時,f(x)≥5,則x<0時,有f(x)≤-1.
其中,正確命題的序號是
 
考點:命題的真假判斷與應用
專題:函數(shù)的性質及應用
分析:本題可以利用函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)圖象特征研究上述問題,判斷其正確性,對于不正確的命題,可以列出反例加以說明.
解答: 解:(1)函數(shù)f(x)=xα(α∈R)中,
當x>0時,xα>0,
∴函數(shù)f(x)=xα(α∈R)的圖象不通過坐標系中第四象限.
故命題①不正確;
(2)當函數(shù)f(x)=loga(mx2-mx+1)(a>0,a≠1)定義域為R,
可取m=0,得到f(x)=loga1=0,定義域為R,
而m∉(0,4).
故命題②不正確;
(3)∵取小函數(shù)min{m,n}=
m (m≤n)
n (m>n)
,
函數(shù)f(x)=min{x
1
3
,2x-2,1-3x},
∴f(x)的圖象草圖為下圖中

曲線y=x
1
3
位于點A左側部分,以及y=2x-2位于點A、B間的部分,和y=1-3x位于點B右側的部分.
最高點為點B.
∴函數(shù)f(x)=min{x
1
3
,2x-2,1-3x}存在最大值.
命題③正確;
(4)當0<a<1時,
u=ax-1為(-∞,0)上的減函數(shù),值域(0,+∞),
y=logau為(0,+∞)上的減函數(shù);
∴函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)定義域為(-∞,0),
∴函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在(-∞,0)內單調遞增;
當a>1時,
u=ax-1為(0,+∞)上的增函數(shù),值域(0,+∞),
y=logau為(0,+∞)上的增函數(shù);
∴函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)定義域為(0,+∞),
即函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在(0,+∞)內單調遞增;
綜上,函數(shù)f(x)=loga(ax-1)(a>0,a≠1)在定義域內單調遞增,
故命題④正確;
(5)∵函數(shù)g(x)=x3+bx+cloga
x2+1
+x)(a>0,a≠1,b,c∈R),
∴函數(shù)g(x)為奇函數(shù).
∵函數(shù)f(x)=x3+bx+cloga
x2+1
+x)+2(a>0,a≠1,b,c∈R),
若x>0時,f(x)≥5,則g(x)≥3,
則x<0時,有g(x)≤-3,f(x)≤-1.
故命題⑤正確.
故答案為:③④⑤.
點評:本題考查了函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)圖象,本題難度不大,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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②x2f(x1)>x1f(x2);
③f(x2)-f(x1)>x2-x1
f(x1)+f(x2)
2
<f(
x1+x2
2
)
,
其中正確結論的序號是
 

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下列說法錯誤的是( 。
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D、“a=1”是“函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù)”的充要條件

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如圖,在四棱椎P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,CD∥AB,CD⊥DA且PD=DA=AB=
1
2
DC=2.設PB中點為E.
(1)證明:平面PBD⊥平面PBC;
(2)在線段DB上是否存在一點F,使得EF⊥平面PBC?若存在,請確定點F的位置(DF的長度);若不存在,請說明理由.
(3)求點A到平面PBC的距離.

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已知曲線C的方程為x2-xy+y2-2=0,則下列各點中,在曲線C上的點是(  )
A、(0,
2
B、(1,-2)
C、(2,-3)
D、(3,8)

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已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的離心率為
3
2
,以原點為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x+y+
2
=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設斜率不為零的直線l與橢圓相交于不同的兩點A,B,已知點A的坐標為(-a,0),點D(0,y0)在線段AB的垂直平分線上,且
DA
DB
=4,求y0的值
(3)若過點M(1,0)的直線與橢圓C相交于P,Q兩點,如果-
3
5
OP
OQ
≤-
2
9
(O為坐標原點),且滿足|
PM
|+|
MQ
|=t
PM
MQ
,求實數(shù)t的取值范圍.

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如圖所示,在斜度一定的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端C對于山坡的斜度為15°,向山頂前進100米后到達點B,又從點B測測建筑物頂端C對于山坡的斜度為45°,建筑物的高CD為50米,求此山對于地面的傾斜角θ的余弦值(結果保留最簡根式).

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