Question

設(shè)m，n∈R，若直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓（x-1）²+（y-1）²=1相切，則mn的取值范圍是（　　）

• A、[3-2

  2

  ，3+2

  2

  ]
• B、（-∞，3-2

  2

  ]∪[3+2

  2

  ，+∞）
• C、[1-

  2

  ，1+

  2

  ]
• D、（-∞，1-

  2

  ]∪[1+

  2

  ，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，由直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)系式，整理后利用基本不等式變形，即可求mn的范圍．

解答： 解：由圓的方程（x-1）²+（y-1）²=1，得到圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑r=1，
∵直線（m+1）x+（n+1）y-2=0與圓相切，
∴圓心到直線的距離d=

|m+n|

(m+1)2+(n+1)2

=1，
整理得：m+n+1=mn，
∴（m+n）²=（mn-1）²≥4mn，
設(shè)mn=x，則有x²-6x+1≥0，
解得：x≥3+2

2

或x≤3-2

2

，
則mn的取值范圍為（-∞，3+2

2

]∪[3+2

2

，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式，以及一元二次不等式的解法，利用了轉(zhuǎn)化及換元的思想，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．