【題目】已知數(shù)列的首項為1.記.
(1)若為常數(shù)列,求的值:
(2)若為公比為2的等比數(shù)列,求的解析式:
(3)是否存在等差數(shù)列,使得對一切都成立?若存在,求出數(shù)列的通項公式:若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)(3)存在等差數(shù)列滿足題意,
【解析】
(1)根據(jù)常數(shù)列代入其值得解;
(2)根據(jù)等比數(shù)列和用賦值法解決二項式展開式的相關(guān)問題求解;
(3)對于開放性的問題先假設(shè)存在等差數(shù)列,再推出是否有恒成立的結(jié)論存在,從而得結(jié)論.
解:(1)∵為常數(shù)列,∴.
∴
(2)∵為公比為2的等比數(shù)列,.
∴
∴
故.
(3)假設(shè)存在等差數(shù)列,使得對一切都成立,
設(shè)公差為,則
相加得
∴.
∴恒成立,
即恒成立,∴
故能為等差數(shù)列,使得對一切都成立,它的通項公式為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】旅游業(yè)作為一個第三產(chǎn)業(yè),時間性和季節(jié)性非常強(qiáng),每年11月份來臨,全國各地就相繼進(jìn)入旅游淡季,很多旅游景區(qū)就變得門庭冷落.為改變這種局面,某旅游公司借助一自媒體平臺做宣傳推廣,銷售特惠旅游產(chǎn)品.該公司統(tǒng)計了活動剛推出一周內(nèi)產(chǎn)品的銷售數(shù)量,用表示活動推出的天數(shù),用表示產(chǎn)品的銷售數(shù)量(單位:百件),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示.
根據(jù)以上數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖,根據(jù)已有的函數(shù)知識,發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)分布在某一條指數(shù)型函數(shù)的周圍.為求出該回歸方程,相關(guān)人員確定的研究方案是:先用其中5個數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗.試回答下列問題:
(1)現(xiàn)令,若選取的是這5組數(shù)據(jù),已知,,請求出關(guān)于的線性回歸方程(結(jié)果保留一位有效數(shù)字);
(2)若由回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過,則認(rèn)為得到的回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的回歸方程是否可靠?
參考公式及數(shù)據(jù):對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為, ;;.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓:的一個頂點(diǎn)重合,且這個頂點(diǎn)與橢圓的兩個焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若橢圓的上頂點(diǎn)為,過作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),連接并延長交橢圓于點(diǎn),的面積為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1).在中,,,,、分別是、上的點(diǎn),且,將沿折起到的位置,使,如圖(2).
(1)求證:平面;
(2)當(dāng)點(diǎn)在何處時,三棱錐體積最大,并求出最大值;
(3)當(dāng)三棱錐體積最大時,求與平面所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某中學(xué)為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力,進(jìn)行了主題分別為“運(yùn)算”、“推理”、“想象”、“建!彼膱龈傎.規(guī)定:每場競賽前三名得分分別為、、(,且、、),選手的最終得分為各場得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每場競賽的前三名,在四場競賽中,已知甲最終得分為分,乙最終得分為分,丙最終得分為分,且乙在“運(yùn)算”這場競賽中獲得了第一名,那么“運(yùn)算”這場競賽的第三名是( )
A.甲B.乙C.丙D.甲和丙都有可能
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解某市高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考情況,該市教研機(jī)構(gòu)組織了一次檢測考試,并隨機(jī)抽取了部分高三理科學(xué)生數(shù)學(xué)成績繪制如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,估計該市此次檢測理科數(shù)學(xué)的平均成績;(精確到個位)
(2)研究發(fā)現(xiàn),本次檢測的理科數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布(,約為),按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù),理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的同學(xué)約占.
(。估計本次檢測成績達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的理科數(shù)學(xué)成績大約是多少分?(精確到個位)
(ⅱ)從該市高三理科學(xué)生中隨機(jī)抽取人,記理科數(shù)學(xué)成績能達(dá)到自主招生分?jǐn)?shù)要求的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.(說明:表示的概率.參考數(shù)據(jù):)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性;
(2)若對于時,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若存在時,使不等式成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設(shè)計了一個實(shí)驗,并獲得了煤氣開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與燒開一壺水所用時間的一組數(shù)據(jù),且作了一定的數(shù)據(jù)處理(如下表),得到了散點(diǎn)圖(如下圖).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,與哪一個更適宜作燒水時間關(guān)于開關(guān)旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)的回歸方程類型?(不必說明理由)
(2)根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù),建立關(guān)于的回歸方程;
(3)若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)與單位時間內(nèi)煤氣輸出量成正比,那么為多少時,燒開一壺水最省煤氣?
附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.
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