Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求證：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是等差數(shù)列，并求a_n；
（3）令$\frac{1}{_{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²，求證：b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題中給出的設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，n=1，2，可求a₁，a₂的值；
（2）再寫一式，兩式相減，可證明：{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列，將a₁=2代入便可求出數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）求出數(shù)列{b_n}的通項公式，再求和，即可證明結論．

解答 （1）解：由S_n滿足S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2得S₁=2a₁-2¹⁺¹+2，∴a₁=2，
S₂=2a₂-2²⁺¹+2，∴a₂=8；
（2）證明：S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是公差為1的等差數(shù)列．
又a₁=2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，故a_n=n•2ⁿ．
（3）證明：$\frac{1}{_{n}}$=（$\frac{{a}_{n}}{n}$）²=2²ⁿ，
∴b_n=$\frac{1}{{4}^{n}}$，
∴b₁+b₂+…+b_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{4}^{n}}）$$＜\frac{1}{3}$．

點評 本題考查數(shù)列的綜合應用，具體涉及到通項公式的求法、前n項和的求法．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．