Question

已知圓C：x²-2x+y²=8與直線l：y=kx+3．
（1）當直線l與圓C相切時，求k的值；
（2）當k=2時，求直線l被圓C截得的弦長．

Answer 1

考點：圓的切線方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線l與圓C相切時的等價條件，即可求k的值；
（2）當k=2時，求出圓心到直線的距離，結(jié)合直線的弦長公式即可求直線l被圓C截得的弦長．

解答： 解：（1）圓的標準方程為（x-1）²+y²=9，
則圓心C的坐標為（1，0），半徑R=3，
當直線l與圓C相切時，
圓心到直線的距離d=

|k+3|

1+k2

=3，
即|k+3|=3

1+k2

，
平方得4k²-3k=0，
解得k=0或k=

3

4

；
（2）當k=2時，直線l的方程為y=2x+3，即2x-y+3=0，
則圓心到直線的距離d=

|2+3|

1+22

=

5

5

=

5

，
則直線被圓C截得的弦長為2

R2-d2

=2

9-5

=2

4

=2×2=4．

點評：本題主要考查直線和圓相切的位置關系的應用，以及直線和圓相交時的弦長的計算，根據(jù)相應的等價條件是解決本題的關鍵．