Question

已知函數(shù)f（x）=

a•ex

x

（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，若f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，代入a=1，求得f'（1），再求出f（1）的值，利用直線方程的點(diǎn)斜式求曲線
f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處切線的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求出的f′（x），然后對(duì)a進(jìn)行分類討論，根據(jù)a＞0和a＜0分別求出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）≥1恒成立，等價(jià)于a≥

x

ex

在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立．構(gòu)造輔助函數(shù)
g(x)=

x

ex

，由導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最大值，則a的取值范圍可求．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=

a•ex

x

，得：
f′(x)=

ax•ex-aex

x2

=

aex(x-1)

x2

，x≠0．
當(dāng)a=1時(shí)，f′(x)=

ex(x-1)

x2

．
依題意f'（1）=0，即在x=1處切線的斜率為0．
把x=1代入f(x)=

ex

x

中，得f（1）=e．
則曲線f（x）在x=1處切線的方程為y=e．

（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠0}．
由于f′(x)=

ax•ex-aex

x2

=

aex(x-1)

x2

．
①若a＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＜0和0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
②若a＜0，
當(dāng)x＜0和0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）為減函數(shù)．
綜上所述，a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（-∞，0），（0，1）．
a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，0），（0，1）；單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．

（Ⅲ）當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，要使f（x）=

a•ex

x

≥1恒成立，
即使a≥

x

ex

在x∈（0，+∞）時(shí)恒成立．
設(shè)g(x)=

x

ex

，則g′(x)=

1-x

ex

．
可知在0＜x＜1時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；
x＞1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)．
則g(x)max=g(1)=

1

e

．
從而a≥

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，構(gòu)造函數(shù)并用導(dǎo)數(shù)求其最值是解答（Ⅲ）的關(guān)鍵，是壓軸題．