Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n=$\frac{{n}^{2}-n+a}{{n}^{2}+b}$（其中a，b為常數(shù)），且a₁=$\frac{1}{4}$，a₁₀=$\frac{28}{31}$．
（1）求a，b的值；
（2）在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有沒(méi)有數(shù)列中的項(xiàng)？若有，求出該項(xiàng)，若沒(méi)有，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）建立方程組進(jìn)行求解即可求a，b的值；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，解不等式即可．

解答 解：（1）∵a₁=$\frac{1}{4}$，a₁₀=$\frac{28}{31}$．
∴a₁=$\frac{a}{1+b}$=$\frac{1}{4}$，a₁₀=$\frac{90+a}{100+a}$=$\frac{28}{31}$．
即1+b=4a，31a-28b=10，
得a=$\frac{2}{9}$，b=-$\frac{1}{9}$；
（2）a_n=$\frac{{n}^{2}-n+a}{{n}^{2}+b}$=$\frac{{n}^{2}-n+\frac{2}{9}}{{n}^{2}-\frac{1}{9}}$，
由$\frac{1}{3}$＜$\frac{{n}^{2}-n+\frac{2}{9}}{{n}^{2}-\frac{1}{9}}$＜$\frac{2}{3}$，
整理得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{n}^{2}-n+\frac{2}{9}}{{n}^{2}-\frac{1}{9}}＞\frac{1}{3}}\\{\frac{{n}^{2}-n+\frac{2}{9}}{{n}^{2}-\frac{1}{9}}＜\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{18{n}^{2}-27n+7＞0}\\{9{n}^{2}-27n+8＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（3n-1）（6n-7）＞0}\\{（3n-1）（3n-8）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{n＞\frac{7}{6}或n＜\frac{1}{3}}\\{\frac{1}{3}＜n＜\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∵n為正整數(shù)，
∴n=2
即在區(qū)間（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）內(nèi)有數(shù)列中的項(xiàng)，且僅有一項(xiàng)：為第二項(xiàng)a₂=$\frac{4-2+\frac{2}{9}}{4-\frac{1}{9}}$=$\frac{4}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用待定系數(shù)法求出a，b是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．