Question

9．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$是兩個(gè)不共線的向量．且$\overrightarrow{a}$=（cosa，sina）.$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ）．
（1）求證：$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直；
（2）若α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），β=$\frac{π}{4}$．且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$\frac{3}{5}$．求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）求出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，再由向量的數(shù)量積的性質(zhì)，向量垂直的條件即可得證；
（2）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和差公式，以及sinα=sin[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]，計(jì)算即可得到所求值．

解答 （1）證明：由$\overrightarrow{a}$=（cosa，sina）.$\overrightarrow$=（cosβ，sinβ），
可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=1，
則（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²-$\overrightarrow$²=1-1=0，
即有$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直；
（2）解：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α-β）=$\frac{3}{5}$，
α∈（-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$），β=$\frac{π}{4}$，可得α-$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{2}$，0），
即有cos（α-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
sin（α-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{1-\frac{9}{25}}$=-$\frac{4}{5}$，
則有sinα=sin[（α-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（α-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（α-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$
=（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，同時(shí)考查三角函數(shù)的恒等變換，以及角的變換思想，屬于中檔題．