Question

13．經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，某產(chǎn)品在投放市場的一個月內(nèi)（按30天計算），前15天，價格直線上升，后15天，價格直線下降（價格為時間的一次函數(shù)），現(xiàn)抽取其中4天價格如表所示：

時間	第4天	第10天	第18天	第25天
價格（元）	108	120	127	120

（1）求價格f（x）關(guān)于時間x的函數(shù)解析式（x表示投放市場的第x天）；
（2）若每天的銷量g（x）關(guān)于時間x的函數(shù)為g（x）=4+$\frac{2}{x}$（萬件），請問該產(chǎn)品哪一天的日銷售額最�。�

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法設(shè)出方程，建立方程進行求解即可．
（2）求出函數(shù)的日銷售額函數(shù)，結(jié)合基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)進行求解最值即可．

解答 解：（1）當(dāng)0≤x≤15時，設(shè)f（x）=ax+b，
當(dāng)x=4時，y=108，
當(dāng)x=10時，y=120，即$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=108}\\{10a+b=120}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=100}\end{array}\right.$，此時f（x）=2x+100，
當(dāng)15＜x≤30時，設(shè)f（x）=ax+b，
當(dāng)x=18時，y=127，
當(dāng)x=25時，y=120，即$\left\{\begin{array}{l}{18a+b=127}\\{25a+b=120}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=145}\end{array}\right.$，此時f（x）=-x+145，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+100，}&{0≤x≤15}\\{-x+145，}&{15＜x≤30}\end{array}\right.$．
（2）若每天的銷量g（x）關(guān)于時間x的函數(shù)為g（x）=4+$\frac{2}{x}$（萬件），
則當(dāng)0≤x≤15時，日銷售額h（x）=f（x）g（x）=（4+$\frac{2}{x}$）（2x+100）=8x+$\frac{100}{x}$+404=8（x+$\frac{12.5}{x}$）+404，
當(dāng)0≤x≤3時，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，當(dāng)4≤x≤15時，函數(shù)h（x）為增函數(shù)，
h（3）=24+$\frac{100}{3}$+404=461$\frac{1}{3}$，h（4）=32+$\frac{100}{4}$+404=461，
當(dāng)15＜x≤30時，日銷售額h（x）=f（x）g（x）=（4+$\frac{2}{x}$）（-x+145）=-4x+$\frac{290}{x}$+578，則此時函數(shù)h（x）為減函數(shù)，
當(dāng)x=30時，h（30）=-120+$\frac{290}{30}$+578=467$\frac{2}{3}$，
則當(dāng)x=4時，函數(shù)h（x）取得最小值461．

點評 本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件利用待定系數(shù)法求出函數(shù)的解析式，以及利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求出函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．