Question

4．若x²+y²-2x-3=0，則$\frac{y-2}{x}$的取值范圍是[0，$\frac{4}{3}$]，2x²+y²的取值范圍是[$\frac{5}{3}$，7]．

Answer 1

分析 （法一）：設(shè)k=$\frac{y-2}{x}$，則y=kx+2，代入x²+y²-2x-3=0，利用△=（4k-2）²-4（1+k²）=12k²-16k≥0，求出k的范圍，可得$\frac{y-2}{x}$的取值范圍；
（法二）：利用參數(shù)法，結(jié)合配方法，即可求出2x²+y²的取值范圍．

解答 解：（法一）：設(shè)k=$\frac{y-2}{x}$，則y=kx+2，代入x²+y²-2x-3=0，
可得（1+k²）x²+（4k-2）x+1=0，
∴△=（4k-2）²-4（1+k²）=12k²-16k≥0，
∴0≤k≤$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{y-2}{x}$的取值范圍是[0，$\frac{4}{3}$]；
（法二）：x²+y²-2x-3=0可化為（x-1）²+y²=4，
設(shè)x=1+2cosα，y=sinα，
則2x²+y²=2（1+2cosα）²+（sinα）²=3（cosα+$\frac{1}{3}$）²+$\frac{5}{3}$∈[$\frac{5}{3}$，7]．
故答案為：[0，$\frac{4}{3}$]；[$\frac{5}{3}$，7]．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，考查圓的參數(shù)方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．