Question

已知f（x）=lg（ax）lg（

x2

a

）（a＞1），且
（1）若f（1）=-1，當x∈[

1

10

，100]，求f（x）的最值；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=-1的根都大于1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)f（1）=-1，求出a，f（x）=（1+lgx）（2lgx-1），x∈[

1

10

，100]，轉(zhuǎn)化為g（t）=2t²+t-1，t∈[-1，2]，求解．
（2）t=lgx，g（t）=2t²+lga•t-（lga）²+1，把關(guān)于x的方程f（x）=-1的根都大于1，轉(zhuǎn)化為2t²+lga•t-（lga）²+1=0，有兩個正根問題求解，借助二次函數(shù)性質(zhì)列出條件．

解答： 解：（1）∵f（x）=lg（ax）lg（

x2

a

）（a＞1），f（1）=-1，
∴-（lga）²=-1，得a=10．a(chǎn)=

1

10

（舍去）
∴f（x）=（1+lgx）（2lgx-1），x∈[

1

10

，100]，
設(shè)t=lgx，t∈[-1，2]，
∴g（t）=2t²+t-1，t∈[-1，2]，
∵對稱軸t=-

1

4

，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)
g（-

1

4

）=-

9

8

，f（2）=9，
∴g（t）的最值小值為-

9

8

，最大值為為9，
即f（x）的最值小值為-

9

8

，最大值為為9，
（2）f（x）=lg（ax）lg（

x2

a

）（a＞1），
f（x）=2（lgx）²+lgalgx-（lga）²，
設(shè)t=lgx，g（t）=2t²+lga•t-（lga）²+1，
∵關(guān)于x的方程f（x）=-1的根都大于1，
∴2t²+lga•t-（lga）²+1=0，有兩個正根，
∴

- lga 4 ＞0 △=9-8lg2a＞0 1-lg2a＞0

解得：-1＜lga＜0，即

1

10

＜a＜1，
故實數(shù)a的取值范圍為：

1

10

＜a＜1，

點評：本題考查了換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解最值，方程的根的分布問題，屬于中檔題．