Question

對(duì)于函數(shù)f（x）定義域內(nèi)的任意x₁，x₂（x₁≠x₂），有以下結(jié)論：
①f（0）=1； 
②f（x₁+x₂）=f（x₁）•（x₂）； 
③f（x₁•x₂）=f（x₁）+（x₂）；
④

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0； 
⑤f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

．
當(dāng)f（x）=lgx時(shí)，上述結(jié)論中，正確的是

 

（填入你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行檢驗(yàn)：①根據(jù)對(duì)數(shù)的定義域可知，②f（x₁+x₂）=lg（x₁+x₂）≠f（x₁）f（x₂）=lgx₁•lgx₂，
③f（x₁•x₂）=lgx₁x₂=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂），④f（x）=log₂x在（0，+∞）單調(diào)遞增，⑤根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和基本不等式即可得到．

解答： 解：對(duì)于①，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），故f（0）無意義，∴①錯(cuò)誤，
對(duì)于②當(dāng)x₁=1，x₂=1時(shí)，f（x₁+x₂）=f（2）=lg10，f（x₁）•f（x₂）=lg1•lg1=0，∴②錯(cuò)誤；
對(duì)于③f（x₁•x₂）=lg（x₁•x₂）=lgx₁+lgx₂=f（x₁）+f（x₂），∴③正確．
對(duì)于④f（x）=lgx在（0，+∞）單調(diào)遞增，則對(duì)任意的0＜x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂）即④

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0；∴④正確
對(duì)于④f（

x1+x2

2

）=lg

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=

1

2

（lgx₁+lgx₂）=

1

2

lgx₁•x₂，
∵

x1+x2

2

≥

x1•x2

∴l(xiāng)g

x1+x2

2

≥

1

2

lgx₁•x₂，∴⑤錯(cuò)誤．
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用