Question

16．已知曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2．
（Ⅰ）分別寫出C₁的普通方程，C₂的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）已知M、N分別為曲線C₁的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)P為曲線C₂上任意一點(diǎn)，求|PM|+|PN|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意和平方關(guān)系求出曲線C₁的普通方程，由ρ²=x²+y²和題意求出C₂的直角坐標(biāo)方程；
（2）法一：求出曲線C₂參數(shù)方程，設(shè)P點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|PM|+|PN|并化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)（|PM|+|PN|）²，利用正弦函數(shù)的最值求出（|PM|+|PN|）²的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值；
法二：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則x²+y²=4，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|PM|+|PN|并化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)（|PM|+|PN|）²，再求出（|PM|+|PN|）²的最值，即可求出|PM|+|PN|的最大值．

解答 解：（1）因?yàn)榍�線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{3}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
所以曲線C₁的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（2分）
由曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2得，
曲線C₂的普通方程為x²+y²=4；…（4分）
（2）法一：由曲線C₂：x²+y²=4，可得其參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2cosα，2sinα），
由題意可知M（0，$\sqrt{3}$），N（0，$-\sqrt{3}$）．
因此|PM|+|PN|=$\sqrt{（2cosα）^{2}+（2sinα-\sqrt{3}）^{2}}$$+\sqrt{{（2cosα）}^{2}+{（2sinα+\sqrt{3}）}^{2}}$
=$\sqrt{7-4\sqrt{3}sinα}$+$\sqrt{7+4\sqrt{3}sinα}$…（6分）
則（|PM|+|PN|）²=14+2$\sqrt{49-48si{n}^{2}α}$．
所以當(dāng)sinα=0時(shí)，（|PM|+|PN|）²有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值為$2\sqrt{7}$．…（10分）
法二：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），則x²+y²=4，
由題意可知M（0，$\sqrt{3}$），N（0，$-\sqrt{3}$）．
因此|PM|+|PN|=$\sqrt{{x}^{2}+（y-\sqrt{3}）^{2}}$+$\sqrt{{x}^{2}+{（y+\sqrt{3}）}^{2}}$=$\sqrt{7-2\sqrt{3}y}$+$\sqrt{7+2\sqrt{3}y}$…（6分）
則（|PM|+|PN|）²=14+2$\sqrt{49-12{y}^{2}}$．
所以當(dāng)y=0時(shí)，（|PM|+|PN|）²有最大值28，…（8分）
因此|PM|+|PN|的最大值為$2\sqrt{7}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，兩點(diǎn)間的距離公式，以及求最值問(wèn)題，考查化簡(jiǎn)、計(jì)算能力．