已知向量
m
=(
3
，1)，向量
n
是與向量
m
夾角為
π
3
的單位向量．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
與向量
q
=(-
3
，1)平行，與向量
p
=(
3
x2，x-y2)垂直，求t=y2+5x+4的最大值．
分析：（1）設(shè)
n
=（x，y），向量
n
是單位向量，向量
n
與向量
m
夾角為
π
3
，解方程組
x2+y2=1
3
x+y=0
，能求出
n
=（0，1），或
n
=(
3
2
，-
1
2
)．
（2）由
n
=（0，1）和向量
q
=(-
3
，1)不平行，知向量
n
=(
3
2
，-
1
2
)，由向量
n
與向量
q
=(-
3
，1)平行，與向量
p
=(
3
x2，x-y2)垂直，得到3x2-x+y2=0．所以t=y2+5x+4=-3x2+6x+4，再由導(dǎo)數(shù)求t的最大值．
解答：解：（1）設(shè)
n
=（x，y），
∵向量
n
是單位向量，
∴x2+y2=1．
∵向量
n
與向量
m
夾角為
π
3
，
∴cos
π
3
=
3
x+y
2
，
∴
3
x+y=1，
解方程組
x2+y2=1
3
x+y=0
，
得x=0，y=1，或x=
3
2
，y=-
1
2
．
∴
n
=（0，1），或
n
=(
3
2
，-
1
2
)．
（2）∵
n
=（0，1）和向量
q
=(-
3
，1)不平行，
∴向量
n
=(
3
2
，-
1
2
)，
向量
n
與向量
q
=(-
3
，1)平行，與向量
p
=(
3
x2，x-y2)垂直，
∴
3
2
•
3
x2+(-
1
2
) •(x-y2)=0，
∴3x2-x+y2=0．
t=y2+5x+4
=（-3x2+x）+5x+4
=-3x2+6x+4，
因?yàn)?3x2+x＞0
所以0＜x＜
1
3
，
所以當(dāng)x=
1
3
時(shí)，t=-3x2+6x+4取最大值tmax=
17
3
．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)量積的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•順義區(qū)一模）已知向量
m
=(2cos
x
2
，1)，
n
=(cos
x
2
，-1)，（x∈R），設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A、B、C，若f(A)=
1
3
，BC=2
3
，AC=3，求邊長AB的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(sinx，1)，
n
=(
3
Acosx，
A
2
cos2x)(A＞0)，函數(shù)f(x)=
m
•
n
-1的最大值為3．
（Ⅰ）求A以及最小正周期T；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
12
個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的
1
2
倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求g（x）在[-
π
12
，
π
6
]上的最小值，以及此時(shí)對應(yīng)的x的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
m
=(x2，1)，
n
=(a，1-2ax)，其中a＞0．函數(shù)g（x）=
m
•
n
在區(qū)間x∈[2，3]上有最大值為4，設(shè)f（x）=
g(x)
x
．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若不等式f（3x）-k3x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
m
=(
3
，1)，向量
n
是與向量
m
夾角為
π
3
的單位向量．
（1）求向量
n
；
（2）若向量
n
與向量
q
=(-
3
，1)平行，與向量
p
=(
3
x2，x-y2)垂直，求t=y2+5x+4的最大值．

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