Question

已知△ABC的頂點A，B在橢圓x²+3y²=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l。
（1）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（2）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程。

Answer 1

解：（1）因為AB∥l，且AB邊通過點（0，0），
所以AB所在直線的方程為y=x
設(shè)A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
由得
所以
又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，
所以
即。
（2）設(shè)AB所在直線的方程為y=x+m
由得
因為A，B在橢圓上，
所以　　　
設(shè)A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則　　　
所以　　　
又因為BC的長等于點（0，m）到直線l的距離，
即
所以　　　
所以當m=-1時，AC邊最長（這時）
此時AB所在直線的方程為y=x-1。