Question

13．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ-$\frac{π}{6}$）（0＜φ＜π，ω＞0））為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的周期；
（2）求f（$\frac{π}{8}$）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為周期的一半得出函數(shù)的周期；
（2）利用周期公式求出ω，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和誘導(dǎo)公式得出φ，從而解出f（x）的解析式，再計(jì)算f（$\frac{π}{8}$）．

解答 解：（1）∵f（x）圖象的兩相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴f（x）的周期T=2×$\frac{π}{2}$=π．
（2）∵f（x）的周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵f（x）是偶函數(shù)，∴φ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，解得φ=$\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{2π}{3}$．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x．
∴f（$\frac{π}{8}$）=2cos$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．