Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}，滿足a₁=3，a₅=15，數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₅=31，設(shè)c_n=b_n-a_n，且數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，滿足a₁=3，a₅=15，可得15=3+4d，解得d可得a_n．由數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₅=31，設(shè)c_n=b_n-a_n，且數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列（可設(shè)公比為q）．可得c₁=1，c₅=16，利用16=1×q⁴，可得q，即可得出．
（2）對(duì)q分類討論，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，滿足a₁=3，a₅=15，
∴15=3+4d，解得d=3．
∴a_n=3+3（n-1）=3n．
∵數(shù)列{b_n}滿足b₁=4，b₅=31，設(shè)c_n=b_n-a_n，且數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列（可設(shè)公比為q）．
∴c₁=4-3=1，c₅=31-15=16，
∴16=1×q⁴，
解得q=±2，
∴${c}_{n}=（±2）^{n-1}$．
∴b_n=a_n+c_n=3n+（±2）^n-1．
（2）當(dāng)q=2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{n（3+3n）}{2}$+$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=$\frac{3（{n}^{2}+n）}{2}$+2ⁿ-1．
當(dāng)q=-2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和=$\frac{n（3+3n）}{2}$+$\frac{（-2）^{n}-1}{-2-1}$=$\frac{3（{n}^{2}+n）}{2}$-$\frac{1}{3}[（-2）^{n}-1]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．