Question

18．已知長為2的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M為線段AB的中點，點O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求點M的軌跡方程；
（Ⅱ）若直線l：y=2x+b與點M的軌跡有兩個不同的交點C，D，且點O在以線段CD為直徑的圓外，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由兩點間距離公式表示出|AB|，再利用中點坐標(biāo)公式建立線段AB的中點與其兩端點的坐標(biāo)關(guān)系，最后代入整理即可；
（Ⅱ）聯(lián)立直線方程與圓的方程化為關(guān)于x的一元二次方程，利用判別式大于0求得b的范圍，再由向量數(shù)量積大于0求得b的范圍，取交集得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)A（m，0）、B（0，n），則|AB|²=m²+n²=4，
再設(shè)線段AB中點M的坐標(biāo)為（x，y），則x=$\frac{m}{2}$，y=$\frac{n}{2}$，
即m=2x，n=2y，
代入m²+n²=4，得4x²+4y²=4，
即AB中點的軌跡方程為x²+y²=1；
（Ⅱ）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+b}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+4bx+b²-1=0．
△=16b²-20（b²-1）=20-4b²＞0，得$-\sqrt{5}＜b＜\sqrt{5}$．
再設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4b}{5}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-1}{5}$，
∵點O在以線段CD為直徑的圓外，
∴$\overrightarrow{OC}•\overrightarrow{OD}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$=x₁x₂+（2x₁+b）（2x₂+b）
=$2b（{x}_{1}+{x}_{2}）+5{x}_{1}{x}_{2}+^{2}$=$-\frac{8^{2}}{5}+5•\frac{^{2}-1}{5}+^{2}＞0$．
解得：$b＜-\frac{\sqrt{10}}{2}$或b$＞\frac{\sqrt{10}}{2}$，
又$-\sqrt{5}＜b＜\sqrt{5}$．
∴$-\sqrt{5}＜b＜-\frac{\sqrt{10}}{2}$或$\frac{\sqrt{10}}{2}＜b＜\sqrt{5}$．
故實數(shù)b的取值范圍為$（-\sqrt{5}，-\frac{\sqrt{10}}{2}）∪（\frac{\sqrt{10}}{2}，\sqrt{5}）$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了向量在解題中的應(yīng)用，是中檔題．