Question

13．點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x-y+2=0的最短距離為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意知，當(dāng)曲線上過點(diǎn)P的切線和直線y=x+2平行時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x+2的距離最小．求出曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)值等于1，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，此切點(diǎn)到直線y=x+2的距離即為所求．

解答 解：點(diǎn)P是曲線y=x²-lnx上任意一點(diǎn)，
當(dāng)過點(diǎn)P的切線和直線y=x+2平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線y=x+2的距離最小．
直線y=x+2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的導(dǎo)數(shù)y′=2x-$\frac{1}{x}$=1，
解得x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x+2平行的切線經(jīng)過的切點(diǎn)坐標(biāo)（1，1），
點(diǎn)（1，1）到直線y=x+2的距離等于$\frac{|1+2-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故點(diǎn)P到直線y=x+2的最小距離為$\sqrt{2}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．