Question

13．點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，則點P到直線x-y+2=0的最短距離為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意知，當曲線上過點P的切線和直線y=x+2平行時，點P到直線y=x+2的距離最小．求出曲線對應的函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)值等于1，可得切點的坐標，此切點到直線y=x+2的距離即為所求．

解答 解：點P是曲線y=x²-lnx上任意一點，
當過點P的切線和直線y=x+2平行時，
點P到直線y=x+2的距離最�。�
直線y=x+2的斜率等于1，
令y=x²-lnx的導數(shù)y′=2x-$\frac{1}{x}$=1，
解得x=1，或 x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
故曲線y=x²-lnx上和直線y=x+2平行的切線經(jīng)過的切點坐標（1，1），
點（1，1）到直線y=x+2的距離等于$\frac{|1+2-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故點P到直線y=x+2的最小距離為$\sqrt{2}$，
故選：D．

點評 本題考查點到直線的距離公式的應用，函數(shù)的導數(shù)的求法及導數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想．