Question

已知函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）的圖象與直線x=1交于點(diǎn)P，若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則log₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+…+log₂₀₁₄x₂₀₁₃的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意可得P（1，1），f′（x）=（n+1）xⁿ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求切線的斜率k，進(jìn)而可求切線方程，切線方程，在方程中，令y=0可得，x_n=

n

n+1

，利用累乘可求x₁x₂…x₂₀₁₃=

1

2

•

2

3

•

3

4

•…•

2013

2014

=

1

2014

，代入可求出答案．

解答： 解：由題意可得P（1，1）
對(duì)函數(shù)f（x）=xⁿ⁺¹求導(dǎo)可得，f′（x）=（n+1）xⁿ
∴y=f（x）在點(diǎn)P處的切線斜率K=f′（1）=n+1，切線方程為y-1=（n+1）（x-1）
令y=0可得，x_n=

n

n+1

．
∴x₁x₂…x₂₀₁₃=

1

2

•

2

3

•

3

4

•…•

2013

2014

=

1

2014

，
∴l(xiāng)og₂₀₁₄x₁+log₂₀₁₄x₂+log₂₀₁₄x₃+…log₂₀₁₄x₂₀₁₃=log₂₀₁₄（x₁x₂…x₂₀₁₃）=log₂₀₁₄

1

2014

=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，累乘及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，還考查了基本運(yùn)算的能力．