Question

若曲線y=sinx，x∈（-π，π）在點(diǎn)P處的切線平行于曲線y=

x

（

x

3

+1）在點(diǎn)Q處的切線，則直線PQ的斜率為（　�。�

• A、

  3

  4

• B、1
• C、

  4

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：設(shè)出P和Q點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用余弦函數(shù)的值域及不等式求最值得到兩個(gè)導(dǎo)函數(shù)的取值范圍，再由函數(shù)y=sinx（x∈（-π，π））圖象在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=

x

（

x

3

+1）在點(diǎn)Q處的切線平行得到P，Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入原函數(shù)求得P，Q的縱坐標(biāo)，由兩點(diǎn)求斜率得答案．

解答： 解：設(shè)P（a，b），Q（m，n），
由y=sinx，得y′=cosx，
∵x∈（-π，π），
∴-1＜y′≤1．
由y=

x

（

x

3

+1），得y′=

1

2

(

x

+

1

x

)≥1．
∵函數(shù)y=sinx（x∈（-π，π））圖象在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)y=

x

（

x

3

+1）在點(diǎn)Q處的切線平行，
∴cosa=

1

2

(

m

+

1

m

)=1．
∵a∈（-π，π），m＞0，
∴a=0，m=1，
∴b=sin0=0，n=

m

(

m

3

+1)=

4

3

．
∴直線PQ的斜率為：

4 3 -0

1-0

=

4

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用基本不等式求函數(shù)最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．