Question

11．已知m＞1，x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+4≥0\\ mx-y+5-m≤0\\ 0≤x≤1\end{array}$，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為3，則$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$（　�。�

• A． 有最小值 $\frac{{11+2\sqrt{10}}}{3}$
• B． 有最大值$\frac{{11+2\sqrt{10}}}{3}$
• C． 有最小值$\frac{{11-2\sqrt{10}}}{3}$
• D． 有最大值$\frac{{11-2\sqrt{10}}}{3}$

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)可得a+5b=3，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$有最小值．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y+4≥0\\ mx-y+5-m≤0\\ 0≤x≤1\end{array}$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y+4=0}\end{array}\right.$，解得A（1，5），
化目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）為y=$-\frac{a}x+\frac{z}$，
由圖可知，當直線y=$-\frac{a}x+\frac{z}$過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為a+5b=3．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{2}$）（$\frac{a}{3}+\frac{5b}{3}$）=$\frac{11}{3}+\frac{5b}{3a}+\frac{2a}{3b}≥\frac{11+2\sqrt{10}}{3}$．
當且僅當2a²=5b²時，上式等號成立．
故選：A．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．