【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)當時,函數(shù)在區(qū)間上的最小值為-5,求的值;

(Ⅱ)設,且有兩個極值點,.

(i)求實數(shù)的取值范圍;

(ii)證明:.

【答案】(Ⅰ)8;(Ⅱ)(i);(ii)詳見解析.

【解析】

(Ⅰ)對求導,可得,單調(diào)遞增,得到最小值,從而得到的值.

(Ⅱ)(i)有兩個極值點,,通過參變分離轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實數(shù)根,再轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)交點問題,從而得到的取值范圍.

(ii)根據(jù)題意得到,,兩式相加、減消去,設構(gòu)造出關于的函數(shù),利用導數(shù)得到單調(diào)性,進行證明.

解:(Ⅰ),

,∴,

所以在區(qū)間上為單調(diào)遞增.

所以

又因為,

所以的值為8.

(Ⅱ)(i)∵

的定義域為,

.

有兩個極值點,

等價于方程有兩個不同實根.

得:.

,

,由.

時,,則上單調(diào)遞增;

時,,則上單調(diào)遞減.

所以,當時,取得最大值,

,∴當時,,當時,,

所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.

(ii)證明:不妨設,

①,②,

①+②得:

②-①得:

③÷④得:,即,

要證:,

只需證.

即證:.

,

.

上單調(diào)遞增,

,即

.

練習冊系列答案
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