Question

如圖，四邊形ABCD是菱形，且AC=AB=2，AM⊥平面ABCD，MA∥NC，MA=3NC=3．
（Ⅰ）若點(diǎn)P在AM上，且MP=2PA，求證：OP∥平面MND；
（Ⅱ）求二面角B-MN-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取MP的中點(diǎn)Q，連結(jié)CQ，由已知條件得MN∥PO，由此能證明PO∥平面MND．
（Ⅱ）由勾股定理推導(dǎo)出BN⊥MN，根據(jù)對稱性，同理得DN⊥MN，由已知條件得∠BND為二面角B-MN-D的平面角，由此能求出二面角B-MN-D的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取MP的中點(diǎn)Q，連結(jié)CQ，
∵M(jìn)Q∥NC，MQ=NC=1，
∴MN∥CQ，
∵P是AQ的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，
∴MN∥PO，
∵M(jìn)N?平面MND，PO不包含于平面MND，
∴PO∥平面MND．
（Ⅱ）解：∵M(jìn)B=

AB2+MA2

=

13

，
MN=

AC2+(MA-NC)2

=2

2

，BN=

CB2+NC2

=

5

，
∴MN²+BN²=13，∴BN⊥MN，
根據(jù)對稱性，同理得DN⊥MN，
∴∠BND為二面角B-MN-D的平面角，
∵BD=2

3

，BN=ND=

5

，
∴cosθ=

BN2+ND2-BD2

2BN•DN

=-

1

5

．
∴二面角B-MN-D的余弦值為-

1

5

．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．