Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）將y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時，求g（x）的取值范圍；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[-4π，+∞）內(nèi)的零點從小到大構(gòu)成一個數(shù)列{a_n}，求{a_n}前n項和的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先通過三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進一步通過函數(shù)的圖象變換，最后利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．
（Ⅱ）利用函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用函數(shù)的零點求出數(shù)列的通項公式，最后利用數(shù)列的通項，進一步求出數(shù)列在定義域內(nèi)的和的最值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx-$\sqrt{3}$cosx）+$\sqrt{3}$
=sin2x-$\sqrt{3}$（2cos²x-1）
=sin2x-$\sqrt{3}cos2x$
=$2sin（2x-\frac{π}{3}）$，
將函數(shù)的圖象向左平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)g（x）=$2sin（2（x+\frac{π}{4}）-\frac{π}{3}）$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$，
由于：$0≤x≤\frac{π}{2}$，
所以：$\frac{π}{6}≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$，
所以：$-\frac{1}{2}≤sin（2x+\frac{π}{6}）≤1$．
則：函數(shù)g（x）的值域為：[-1，2]．
（Ⅱ）由于：2sin（2x-$\frac{π}{3}$）=0，
所以：$2x-\frac{π}{3}$=kπ，
解得：x=$\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}$（k∈Z）．
f（x）在區(qū)間[-4π，+∞）內(nèi)的零點從小到大構(gòu)成一個數(shù)列{a_n}，
所以：${a}_{1}=-\frac{23}{6}π$，d=$\frac{π}{2}$．
則：${a}_{n}=-\frac{23}{6}π$+$\frac{π}{2}$（n-1）=$\frac{π}{2}$n-$\frac{13}{3}π$，
由于：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{n}≤0\\{a}_{n+1}≥0\end{array}\right.$
所以：$\left\{\begin{array}{l}\frac{π}{2}n-\frac{13}{3}π≤0\\ \frac{π}{2}（n+1）-\frac{13}{3}π≥0\end{array}\right.$，
所以：$\frac{23}{3}≤n≤\frac{26}{3}$
則：n=8．
所以：數(shù)列{a_n}的最小值為：${S}_{8}=\frac{8（-\frac{23}{6}π+4π-\frac{13}{3}π）}{2}$=-$\frac{50}{3}π$．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，函數(shù)的圖象的平移變換問題，利用函數(shù)的定義域求正弦型函數(shù)的值域，正弦型函數(shù)的零點問題的應(yīng)用，利用等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列的和．主要考查學(xué)生的應(yīng)用能力．