Question

19．設(shè)集合X是實(shí)數(shù)集R的子集，如果點(diǎn)x₀∈R滿足：對(duì)任意a＞0，都存在x∈X，使得|x-x₀|＜a，那么稱x₀為集合X的聚點(diǎn)．用Z表示整數(shù)集，則在下列集合：①$\{\frac{n}{n+1}\left|{n∈Z，}\right.n≥0\}$，②{x∈R|x≠0}，③$\{\frac{1}{n}\left|{n∈Z，}\right.n≠0\}$，④整數(shù)集Z中，以0為聚點(diǎn)的集合有（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②④

Answer 1

分析 由已知中關(guān)于集合聚點(diǎn)的定義，我們逐一分析四個(gè)集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點(diǎn)的定義，進(jìn)而得到答案．

解答 解：①中，集合$\{\frac{n}{n+1}\left|{n∈Z，}\right.n≥0\}$中的元素是極限為1的數(shù)列，
除了第一項(xiàng)0之外，其余的都至少比0大$\frac{1}{2}$，
∴在a＜$\frac{1}{2}$的時(shí)候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合 $\{\frac{n}{n+1}\left|{n∈Z，}\right.n≥0\}$的聚點(diǎn)；
②集合{x|x∈R，x≠0}，對(duì)任意的a，都存在x=$\frac{a}{2}$（實(shí)際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=$\frac{a}{2}$＜a，
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點(diǎn)；
③集合{$\frac{1}{n}$|n∈Z，n≠0}中的元素是極限為0的數(shù)列，
對(duì)于任意的a＞0，存在n＞$\frac{1}{a}$，使0＜|x|=$\frac{1}{n}$＜a，
∴0是集合{$\frac{1}{n}$|n∈Z，n≠0}的聚點(diǎn)；
④對(duì)于某個(gè)a＜1，比如a=0.5，此時(shí)對(duì)任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數(shù)集Z的聚點(diǎn)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點(diǎn)的含義，是解答本題的關(guān)鍵，是中檔題．