Question

14．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，右頂點(diǎn)為A（2，0）．
（1）．求橢圓C的方程；
（2）．過點(diǎn)P（0，2）的直線l交橢圓于M、N兩點(diǎn)，以線段M、N為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求出直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓定義列方程組求出a，b的值；
（2）設(shè)直線l方程y=kx+2，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出M，N的坐標(biāo)關(guān)系，由OM⊥ON列方程解出k即可．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=kx+2（k≠0），
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消元得（1+2k²）x²+8kx+4=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{8k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∵以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=0，
∴x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=0，
即（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=0，
∴$\frac{4（1+{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$-$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+4=0，解得k=$±\sqrt{2}$．
∴直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x+2或y=-$\sqrt{2}$x+2．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．