Question

7．設(shè)S_n為數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，a_n=2ⁿ，b_n=50-3n，c_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}{，a}_{n}{＞b}_{n}}\\{_{n}{，a}_{n}{＜b}_{n}}\end{array}\right.$．
（1）求c₄與c₈的等差中項(xiàng)；
（2）當(dāng)n＞5時(shí)，設(shè)數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（�。┣骉_n；
（ⅱ）當(dāng)n＞5時(shí)，判斷數(shù)列{T_n-34ln}的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出c₄=38，c₈=256，由此能求出c₄與c₈的等差中項(xiàng)．
（2）（i）當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＜b_n，則S₁=47，S₂=91，S₃=132，S₄=170，S₅=205，當(dāng)n=5時(shí)，a_n=b_n，從而S_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+a₆+a₇+…+a_n=205+$\frac{{2}^{6}-{2}^{n+1}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹+141．由此能求出當(dāng)n＞5時(shí)，數(shù)列{S_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
（ii）設(shè)d_n=T_n-341n=2ⁿ⁺²-200n-188，則d_n+1-d_n=2ⁿ⁺²-200，由此能求出當(dāng)n＞5時(shí)，數(shù)列{T_n-34ln}的單調(diào)遞增．

解答 解：（1）∵a₄＜b₄=38，∴c₄=38，
∵b₈＜a₈=256，∴c₈=256，
∴c₄與c₈的等差中項(xiàng)為$\frac{{c}_{4}+{c}_{8}}{2}$=$\frac{38+256}{2}=147$．
（2）（i）當(dāng)n≤5時(shí)，a_n＜b_n，
則S₁=47，S₂=91，S₃=132，S₄=170，S₅=205，
當(dāng)n=5時(shí)，a_n=b_n，
則S_n=b₁+b₂+b₃+b₄+b₅+a₆+a₇+…+a_n
=205+$\frac{{2}^{6}-{2}^{n+1}}{1-2}$=2ⁿ⁺¹+141．
∴當(dāng)n＞5時(shí)，T_n=47+91+132+170+205+（2⁷+141）+（2⁸+141）+…+（2ⁿ⁺¹+141）
=645+$\frac{{2}^{7}-{2}^{n+2}}{1-2}$+141（n-5）=2ⁿ⁺²+141n-188．
（ii）設(shè)d_n=T_n-341n=2ⁿ⁺²-200n-188，
d_n+1-d_n=2ⁿ⁺²-200，
當(dāng)n＞5時(shí)，2ⁿ⁺²-200＞0，
∴d_n+1＞d_n，
∴當(dāng)n＞5時(shí)，數(shù)列{T_n-34ln}的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列中的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的等差中項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的單調(diào)性質(zhì)的判斷，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．