Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，tanα），$\overrightarrow$=（3，-cosα），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
（1）若α∈（π，2π），求cosα的值；
（2）求$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α}{3co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$的值．

Answer 1

分析 （1）由兩向量垂直，根據(jù)兩向量垂直時(shí)數(shù)量積為0，利用兩向量的坐標(biāo)列出關(guān)系式，變形后利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后，即可求出tanα的值，結(jié)合α的范圍，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計(jì)算求值．
（2）由（1）可得tanα=2，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡即可求值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（cosα，tanα），$\overrightarrow$=（3，-cosα），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，
∴3cosα-tanα•cosα=0，即2cosα=sinα，
∴tanα=2，
又∵α∈（π，2π），可得：α∈（π，$\frac{3π}{2}$），
∴cosα=-$\sqrt{\frac{1}{1+ta{n}^{2}α}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
（2）∵由（1）可得tanα=2，
∴$\frac{2sinαcosα+co{s}^{2}α}{3co{s}^{2}α-si{n}^{2}α}$=$\frac{2tanα+1}{3-ta{n}^{2}α}$=$\frac{2×2+1}{3-4}$=-5．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．