Question

【題目】對于函數(shù),若存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”.給出下列四個(gè)函數(shù):

①;

②;

③;

④.

其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的序號是________.

Answer 1

【答案】②③

【解析】

根據(jù)存在區(qū)間,使得,則稱函數(shù)為“可等域函數(shù)”,區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”,對四個(gè)函數(shù)逐一判斷,即可得到答案.

對于①,是的可等域區(qū)間,但不唯一,故①不成立;

對于②,,且在時(shí)遞減,在時(shí)遞增,

若,則,故

又,,而,故,故是一個(gè)可等域區(qū)間;

若,則,解得,,不合題意,

若,則有兩個(gè)非負(fù)解,但此方程的兩解為和,也不合題意,

函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間,故②成立;

對于③,函數(shù)的值域是,

,函數(shù)在上是增函數(shù),

考察方程,由于函數(shù)與只有兩個(gè)交點(diǎn),,

即方程只有兩個(gè)解和,

此函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間,故③成立;

對于④,函數(shù)在定義域上是增函數(shù),

若函數(shù)有等可域區(qū)間,則,,

但方程無解,故此函數(shù)無可等域區(qū)間,故④不成立.

綜上所述,只有②③正確.

故答案為:②③.