Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³-4x²+5x-4．
（1）求曲線f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）求經(jīng)過點A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，切線的斜率為f′（2），又切點在函數(shù)f（x）上，求出切點的坐標(biāo)，根據(jù)直線的點斜式方程寫出函數(shù)f（x）在x=2處的切線方程；
（2）設(shè)切點坐標(biāo)為P（a，a³-4a²+5a-4），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，而點A（2，-2）在切線上，列出關(guān)于a的方程，求解a，即可得到曲線的切線方程．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³-4x²+5x-4，
∴f′（x）=3x²-8x+5，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，則曲線f（x）在x=2處的切線的斜率為f′（2）=1，
又切點坐標(biāo)為（2，-2），
由點斜式可得切線方程為y-（-2）=1×（x-2），即x-y-4=0，
∴求曲線f（x）在x=2處的切線方程為x-y-4=0；
（2）設(shè)切點坐標(biāo)為P（a，a³-4a²+5a-4），
由（1）可知，f′（x）=3x²-8x+5，
則切線的斜率為f′（a）=3a²-8a+5，
由點斜式可得切線方程為y-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（x-a），①
又根據(jù)已知，切線方程過點A（2，-2），
∴-2-（a³-4a²+5a-4）=（3a²-8a+5）（2-a），即a³-5a²+8a-4=0，
∴（a-1）（a²-4a+4）=0，即（a-1）（a-2）²=0，
解得a=1或a=2，
將a=1和a=2代入①可得，切線方程為y+2=0或x-y-4=0，
故經(jīng)過點A（2，-2）的曲線f（x）的切線方程為y+2=0或x-y-4=0．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．導(dǎo)數(shù)的幾何意義即在某點處的導(dǎo)數(shù)即該點處切線的斜率，解題時要注意運用切點在曲線上和切點在切線上．關(guān)于曲線的切線問題，要注意審清題中的條件是“在”點處還是“過”點，是本題問題的易錯點．屬于中檔題．