Question

12．如圖，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，若AB=6，BC=3，CD=4，則線段AC的長為6．

Answer 1

分析 根據(jù)圓的切線和割線，利用切割線定理得到與圓有關(guān)的比例線段，代入已知線段的長度求出DB的長，根據(jù)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，得到兩個(gè)三角形全等，對(duì)應(yīng)線段成比例，得到要求的線段的長度．

解答 解：∵過點(diǎn)C的切線交AB的延長線于點(diǎn)D，
∴DC是圓的切線，DBA是圓的割線，
根據(jù)切割線定理得到DC²=DB•DA，
∵AB=6，CD=4，
∴16=DB（DB+6）
∴DB=2，
由題意知∠D=∠D，∠BCD=∠A
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{DC}{DA}=\frac{BC}{CA}$
∴AC=$\frac{8×3}{4}$=6，
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形的相似的判定定理與性質(zhì)定理，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓中的比例式，代入已知線段的長度求出未知的線段的長度，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．