在直角坐標系xOy中，已知動點P與平面上兩定點M（-1，0），N（1，0）連線的斜率的積為定值-4，設點P的軌跡為C．
（1）求出曲線C的方程；
（2）設直線y=kx+1與C交于A，B兩點，若
OA
⊥
OB
，求k的值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）根據(jù)定點M（-1，0）、N（1，0），直線MP與直線PN的斜率之積為-4，建立方程，化簡可得曲線C的方程；
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理以及
OA
⊥
OB
，推出x1x2+y1y2=0，然后求出直線的斜率的值即可．
解答： 解：（1）設P點坐標為（x，y）
∵定點M（-1，0）、N（1，0），直線PM與直線PN的斜率之積為-4，
∴
y
x+1
•
y
x-1
=-4，
∴曲線C的方程為x2+
y2
4
=1(x≠±1)．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），其坐標滿足 
x2+
y2
4
=1
y=kx+1.

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，
故x1+x2=-
2k
k2+4
，x1x2=-
3
k2+4
．
若
OA
⊥
OB
，即x1x2+y1y2=0．
而y1y2=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
于是x1x2+y1y2=-
3
k2+4
-
3k2
k2+4
-
2k2
k2+4
+1=0，
化簡得-4k2+1=0，所以k=±
1
2
．
點評：本題考查軌跡方程的求解，考查存在性問題的探究，考查直線與橢圓的位置關系，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面向量
a
，
b
滿足|
a
|=|
b
|=2，（
a
+2
b
）•（
a
-
b
）=-2，則
a
與
b
的夾角為（　�。�
A、
π
6
B、
π
3
C、
2π
3
D、
5π
6

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

斜率為2的直線l與雙曲線
x2
3
-
y2
2
=1交于A，B兩點，且|AB|=4，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=(cos(θ-
π
4
)， 1)，
b
=（3，0），其中θ∈(
π
2
， 
5π
4
)，若
a
•
b
=1．
（Ⅰ）求sinθ的值；
（Ⅱ）求tan2θ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知離心率為
3
2
的橢圓C，其長軸的端點A1，A2恰好是雙曲線
x2
3
-y2=1的左右焦點，點P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點，設直線PA1，PA2的斜率分別為k1，k2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）試判斷乘積“k1•k2”的值是否與點P的位置有關，并證明你的結(jié)論；
（3）當k1=
1
2
，在橢圓C上求點Q，使該點到直線PA2的距離最大．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設z=2y-2x+4，式中x，y滿足條件
0≤x≤1
0≤y≤2
2y-x≥1
，求z的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y2=1的兩個焦點，O為坐標原點，圓O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y=kx+b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點．
（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關系式；
（Ⅱ）當
OA
•
OB
=k2+1時，求直線l的方程；
（Ⅲ）當
OA
•
OB
=m(k2+1)，且滿足2≤m≤4時，求△AOB面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=
x+
-x2+4x-3
2x
的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

①?φ∈R，函數(shù)f（x）=sin（2x+φ）都不是偶函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=ex+x2-2的零點有2個； 
③已知函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=log2（x+1）的圖象關于直線x-y=0 對稱，則函數(shù)y=f（x）的解析式為y=2x-1；
④?m∈R，使f(x)=(m-1)•xm2-4m+3是冪函數(shù)，且在（0，+∞）上遞減；
上述命題中是真命題的有
 
．

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