Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線x²-y²=1的兩個焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O是以F₁F₂為直徑的圓，直線l：y=kx+b與圓O相切，并與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）根據(jù)條件求出b和k的關(guān)系式；
（Ⅱ）當(dāng)

OA

•

OB

=k2+1時，求直線l的方程；
（Ⅲ）當(dāng)

OA

•

OB

=m(k2+1)，且滿足2≤m≤4時，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑可得b和k滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）先把直線l的方程與雙曲線方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與b和k之間的等式，再利用

OA

•

OB

=k2+1以及（Ⅰ）的結(jié)論求出b和k進(jìn)而求得直線l的方程；
（Ⅲ）用類似于（Ⅱ）的方法求出之間的關(guān)系式，求出弦AB的長，再把△AOB面積整理成關(guān)于m的函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性求出△AOB面積的取值范圍即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓O：x²+y²=2，∴d=

|b|

k2+1

=

2

⇒b2=2(k2+1)(k≠1)；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則直線代入雙曲線方程，消去y并整理得，（k²-1）x²+2kbx+（b²+1）=0，其中k²≠1．
根據(jù)韋達(dá)定理，得x₁+x₂=

2kb

1-k2

，x₁x₂=

b2+1

1-k2

，
∵

OA

•

OB

=k2+1，
∴（1+k）•

b2+1

1-k2

+kb•

2kb

1-k2

+b²=k²+1
∴k=±

2

，b=±

6

，
∴y═±

2

x±

6

；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：-

1

1-k2

=m，
∴k2=1+

1

m

，于是b²-k²=k²+2，
∴|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

2 b2-k2+1

|1-k2|

…（10分）
又O到AB的距離d=

2

，
∴S△AOB=

1

2

|AB|•d=

2(4m+1)(2m+1)

=

2[8(m+ 3 2 )2-17]

∈[3

10

，3

34

]…（12分）

點(diǎn)評：本題是考查函數(shù)，向量，拋物線以及圓，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，屬于難題．