Question

17．設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過M（-b，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點
（1）已知橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，過N（b，0）作x軸的垂線與直線l交于P．且NP的中點在C上．求直線1的傾斜角；
（2）設(shè)B關(guān)于坐標原點的對稱點為Q，求△ABQ的面積最大值（用a，b表示）．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式，求得直線l的方程，令x=b，求得P的坐標，由中點坐標公式可得中點D的坐標，代入橢圓方程，可得直線的斜率，進而得到傾斜角；
（2）設(shè)直線x=my-b，代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，運用韋達定理和弦長公式，以及三角形的面積公式，化簡整理，由二次函數(shù)的最值的求法，可得最大值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+b），
令x=b可得y=2kb，即P（b，2kb），
可得中點D為（b，kb），
代入橢圓方程可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{k}^{2}^{2}}{^{2}}$=1，
即有k²=1-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{a}^{2}-\frac{1}{3}{a}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即有直線的傾斜角為30°或150°；
（2）設(shè)直線x=my-b，代入橢圓方程$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1，可得
（a²+b²m²）y²-2mb³y+b⁴-a²b²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{2m^{3}}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{^{4}-{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}$，
由對稱性可得△ABQ的面積為2S_△ABO，
S_△ABO=$\frac{1}{2}$b•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$b•$\sqrt{\frac{4{m}^{2}^{6}}{（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）^{2}}-\frac{4（^{4}-{a}^{2}^{2}）}{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}}}$
=ab²•$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}{m}^{2}-^{2}}{（{a}^{2}+^{2}{m}^{2}）^{2}}}$，
令t=a²+b²m²，則t≥a²，
則S_△ABO=ab²•$\sqrt{-^{2}（\frac{1}{t}-\frac{1}{2^{2}}）^{2}+\frac{1}{4^{2}}}$，
當a²≤t≤2b²，S_△ABO取得最大值ab²•$\frac{1}{2b}$=$\frac{1}{2}$ab，
當t＞2b²，S_△ABO取得最大值b²•$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
即有△ABQ的面積最大值為$\left\{\begin{array}{l}{ab，1＜\frac{{a}^{2}}{^{2}}≤2}\\{2^{2}•\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}，\frac{{a}^{2}}{^{2}}＞2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查橢圓的方程的運用，注意運用點滿足橢圓方程，以及離心率公式，考查直線的斜率和傾斜角的求法，同時考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及二次函數(shù)的最值的求法，屬于中檔題．