【題目】已知函數(shù)， ．

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)．

①求最大整數(shù)值；

②證明： ．

【答案】（1）（2）①2②見解析

【解析】試題分析：（1）將代入到函數(shù)，再對(duì)求導(dǎo)，分別求出和，即可求出切線方程；（2）①若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立，則先證明，構(gòu)造新函數(shù)，求出單調(diào)性，再同理可證，即可求出的最大整數(shù)值；②由①得，令，可得，累加后利用等比數(shù)列求和公式及放縮法即可得證.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

∴，

又，∴，

則所求切線方程為，即．

（2）由題意知， ，

若函數(shù)在定義域上為單調(diào)增函數(shù)，則恒成立．

①先證明．設(shè)，則，

則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴，即．

同理可證

∴，∴．

當(dāng)時(shí)， 恒成立．

當(dāng)時(shí)， ，即不恒成立．

綜上所述， 的最大整數(shù)值為2．

②由①知， ，令，

∴

∴．

由此可知，當(dāng)時(shí)， ．當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ， ，當(dāng)時(shí)， ．

累加得 ．

又 ，

∴ ．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某協(xié)會(huì)對(duì)，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行滿意度調(diào)查，在，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)提供過服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取了人，每人分別對(duì)這兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)進(jìn)行獨(dú)立評(píng)分，滿分均為分.整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以為組距分成組：，，，，，，得到服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表，服務(wù)機(jī)構(gòu)分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖：

定義市民對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下：

分?jǐn)?shù)

滿意度指數(shù)

0

1

2

（1）在抽樣的人中，求對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為的人數(shù)；

（2）從在，兩家服務(wù)機(jī)構(gòu)都提供過服務(wù)的市民中隨機(jī)抽取人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)服務(wù)機(jī)構(gòu)評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率；

（3）如果從，服務(wù)機(jī)構(gòu)中選擇一家服務(wù)機(jī)構(gòu)，以滿意度出發(fā)，你會(huì)選擇哪一家？說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】年底某購物網(wǎng)站為了解會(huì)員對(duì)售后服務(wù)（包括退貨、換貨、維修等）的滿意度，從年下半年的會(huì)員中隨機(jī)調(diào)查了個(gè)會(huì)員，得到會(huì)員對(duì)售后服務(wù)的滿意度評(píng)分如下：

根據(jù)會(huì)員滿意度評(píng)分，將會(huì)員的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：

滿意度評(píng)分

低于分

分到分

不低于分

滿意度等級(jí)

不滿意

比較滿意

非常滿意

（1）根據(jù)這個(gè)會(huì)員的評(píng)分，估算該購物網(wǎng)站會(huì)員對(duì)售后服務(wù)比較滿意和非常滿意的頻率；

（2）以（1）中的頻率作為概率，假設(shè)每個(gè)會(huì)員的評(píng)價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.

（i）若從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取個(gè)會(huì)員，求恰好一個(gè)評(píng)分比較滿意，另一個(gè)評(píng)分非常滿意的概率；

（ii）若從下半年的所有會(huì)員中隨機(jī)選取個(gè)會(huì)員，記評(píng)分非常滿意的會(huì)員的個(gè)數(shù)為，求的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截拋物線所得的弦長為.

（1）求橢圓和拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，證明：直線恒過一定點(diǎn).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)， .

（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校初三年級(jí)有名學(xué)生，隨機(jī)抽查了名學(xué)生，測(cè)試分鐘仰臥起坐的成績（次數(shù)），將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.用樣本估計(jì)總體，下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 該校初三年級(jí)學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為次

B. 該校初三年級(jí)學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為次

C. 該校初三年級(jí)學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)超過次的人數(shù)約有人

D. 該校初三年級(jí)學(xué)生分鐘仰臥起坐的次數(shù)少于次的人數(shù)約為人.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）當(dāng)（）時(shí)在曲線上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，若的面積為，求點(diǎn)的極坐標(biāo)，并判斷是否在曲線上（其中點(diǎn)為半圓的圓心）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)， ，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性.

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意恒成立？若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】(2017·貴州適應(yīng)性考試)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P是線段A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐PBCD 的俯視圖與正視圖面積之比的最大值為(　　)

A. 1 B.

C. D. 2

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