Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，
①若A=60°，b=2，c=3，則a=

7

；
②若C=60°，b=

6

，c=3則A=75°；
③b²+c²＜a²，則A為鈍角；
④若acosA=bcosB，則△ABC是等腰三角形；
⑤若

cosC

c

=

cosB

b

+

cosA

a

，則

ab

c2

的最大值為

3

2

，
在這五個(gè)命題中真命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：閱讀型,解三角形

分析：①可運(yùn)用余弦定理，即可判斷；②運(yùn)用正弦定理和邊角的關(guān)系，即可判斷；
③由余弦定理即可判斷；④運(yùn)用直線定理和二倍角的正弦公式，及誘導(dǎo)公式，即可判斷；
⑤運(yùn)用余弦定理和基本不等式，即可求得最大值．

解答： 解：①若A=60°，b=2，c=3，則a²=b²+c²-2bccos60°=4+9-2×2×3×

1

2

=7，故①對(duì)；
②若C=60°，b=

6

，c=3，則

6

sinB

=

3

sin60°

，sinB=

1

2

，由于B＜C，則B=45°，A=75°，故②對(duì)；
③若b²+c²＜a²，則cosA=

b2+c2-a2

2bc

＜0，則A為鈍角．故③對(duì)；
④若acosA=bcosB，則sinAcosA=sinBcosB，sin2A=sin2B，即有2A=2B，或2A+2B=180°，
即A=B，或A+B=90°，故△ABC是等腰三角形或直角三角形，故④錯(cuò)；
⑤若

cosC

c

=

cosB

b

+

cosA

a

，

a2+b2-c2

2abc

=

c2+a2-b2

2abc

+

b2+c2-a2

2abc

，即有a²+b²=3c²，
，則

ab

c2

=

3ab

a2+b2

≤

3ab

2ab

=

3

2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b取最大值

3

2

．
故答案為：①②③⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形的知識(shí)：正弦定理和余弦定理及運(yùn)用，同時(shí)考查三角變換，二倍角公式和誘導(dǎo)公式，以及基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．