Question

（2012•湘潭模擬）設(shè)A為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，點A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點，且AF⊥BF，設(shè)∠ABF=θ．
（1）|AB|=

2

a2-b2

；
（2）若θ∈[

π

12

，

π

4

]，則該橢圓離心率的取值范圍為

[

2

2

，

6

3

]

．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A（x，y），B（-x，-y），F(xiàn)（c，0），由AF⊥BF，可得

FA

•

FB

=0，從而可得x²+y²=c²=a²-b²，|AB|=2|AO|，代入可求
（2）設(shè)左焦點為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出

c

a

即離心率e，進而根據(jù)α的范圍確定e的范圍．

解答：解：（1）設(shè)A（x，y），B（-x，-y），F(xiàn)（c，0）

FA

=(x-c，y)，

FB

=(-x-c，-y)
∵AF⊥BF，
∴

FA

•

FB

=c²-x²-y²=0
∴x²+y²=c²=a²-b²
∴|AB|=2|AO|=2

x2+y2

=2

a2-b2

（2）∵B和A關(guān)于原點對稱
∴B也在橢圓上
設(shè)左焦點為F′
根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜邊中點，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴e=

c

a

=

1

sinα+cosα

=

1

2 sin(α+ π 4 )

∵a∈[

1

12

π，

1

4

π]
∴

1

3

π≤α+

1

4

π≤

1

2

π
∴

3

2

≤sin（α+

1

4

π  ）≤1
∴

2

2

≤e≤

6

3

故答案為：2

a2-b2

；[

2

2

，

6

3

]

點評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，向量的基本運算性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時要特別利用好橢圓的定義．