Question

16．（1）若關(guān)于x的不等式|x-3|+|x+2|≤|2a+1|的解集不是空集，試求a的取值范圍；
（2）已知關(guān)于x的不等式|x-a|≤4的解集為[-1，7]，且兩正數(shù)s和t滿足2s+t=a，求證：$\frac{1}{s}+\frac{8}{t}≥6$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出|x-3|+|x+2|的最小值，各個(gè)關(guān)于a的不等式，解出即可；
（2）求出|x-a|≤4的解集，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求出a，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）|x-3|+|x+2|≥|x-3-x-2|=5，
若|x-3|+|x+2|≤|2a+1|的解集不是空集，
責(zé)任|2a+1|≥5，解得：a≥2或a≤-3，
即a∈（-∞，-3]∪[2，+∞）；
（2）不等式|x-a|≤4的解集為[a-4，a+4]=[-1，7]，∴a=3，
∴$\frac{1}{s}$+$\frac{8}{t}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{s}$+$\frac{8}{t}$）（2s+t）=$\frac{1}{3}$（10+$\frac{t}{s}$+$\frac{16s}{t}$ ）≥6，
當(dāng)且僅當(dāng)s=$\frac{1}{2}$，t=2時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查不等式的性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．