設函數(shù)f（x）=6x3（a+2）x2+2ax．
（1）若f（x）的兩個極值點為x1，x2，且x1•x2=1，求實數(shù)a的值；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的單調函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由根與系數(shù)關系列式求得實數(shù)a的值；
（2）由導函數(shù)恒有兩個不等的實數(shù)根，說明導函數(shù)有兩個極值點，則說明不存在實數(shù)a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的單調函數(shù)．
解答： 解：（1）由f（x）=6x3（a+2）x2+2ax，得
f′（x）=18x2+6（a+2）x+2a，令f′（x）=0，得18x2+6（a+2）x+2a=0，
設其兩根為x1，x2，
由x1•x2=
2a
18
=1，得a=9；
（2）∵f′（x）=18x2+6（a+2）x+2a，圖象為開口向上的拋物線，
△=36（a+2）2-8×18a=36（a2+4）＞0，
∴方程18x2+6（a+2）x+2a=0有兩個不等的實數(shù)根，
故不存在實數(shù)a，使得f（x）是（-∞，+∞）上的單調函數(shù)．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，訓練了一元二次方程的根與系數(shù)關系，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若圓錐的軸截面是正三角形，則它的側面積是底面積的（　�。�
A、4倍
B、3倍
C、
2
倍
D、2倍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（理做）已知函數(shù)f（x）=
1
x-1
-lnx，函數(shù)y=f（|x|）的零點個數(shù)為n，則n=（　　）
A、2B、4C、6D、8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）設x，y∈R，向量
a
=（x，1），
b
=（1，y），
c
=（2，-4），且
a
⊥
c
，
b
∥
c
，求|
a
+
b
|和
a
+
b
與
c
的夾角；
（2）設0為△ABC的外心，已知AB=3，AC=4，非零實數(shù)x，y滿足
AO
=x
AB
+y
AC
且x+2y=1，則cos∠BAC的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設Sn為數(shù)列{an}的前n項之和，若不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12對任何等差數(shù)列{an}及任何正整數(shù)n恒成立，則λ的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x+2|+1，g（x）=ax．若關于x的方程f（x）=g（x）有兩個不相等的實根，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�
A、（-1，-
1
2
）
B、（
1
2
，1）
C、（0，
1
2
）
D、（-∞，-1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知圓M：x2+（y-4）2=4，直線l的方程為x-2y=0，點P是直線l上一動點，過點P作圓的切線PA、PB，切點為A、B．
（1）當P的橫坐標為
16
5
時，求∠APB的大小；
（2）求證：經(jīng)過A、P、M三點的圓N必過定點，并求出所有定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列式子正確的是（　�。�
A、
AB
-
AC
=
BC
B、
a
•（
b
•
c
）=（
a
•
b
）•
c
C、λ（μa）=（λμ）
a
D、
O
•
AB
=
O

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在△ABC中，已知25cos2A+120sin2
B+C
2
=17．
（1）求cosA的值；
（2）若a=4
2
，b=5，求向量
BA
在
BC
方向上的投影．

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