Question

設函數f（x）=kx-lnx，x₁、x₂是關于x的方程f（x）=0的兩根，且x₁＜x₂，則下列說法正確的是

 

（請將你認為正確的序號都填上）．
①k的取值范圍是（-∞，

1

e

）；
②x₁x₂＞e；
③

x2

x1

隨k的增大而減�。�
④

lnx1

x1-1

＞

lnx2

x2-1

．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：根據函數的零點與方程的根的關系，數形結合即可得出結論．

解答： 解：y=kx-lnx的零點，就是kx=lnx的根記f（x）=kx，g（x）=lnx，它們的圖象如圖所示

當他們有兩個公共點時，必有k＞0，且0＜x₁＜x₂．
y'=k-

1

x

其中k＞0，x＞0
可知當0＜x＜

1

k

時，y'＜0，而x＞

1

k

時，y'＞0
所以y=kx-lnx在x=

1

k

處取得極小值y_min=1-ln

1

k

要使得y有兩個零點，必有1-ln

1

k

＜0，解得0＜k＜

1

e

，
此時，y有兩個零點，于是①錯誤
當k=

1

e

時，函數y只有一個零點x=e
于是當函數有兩個零點時，兩個零點必定在e的異側
即x₁＜e，x₂＞e，而x₁＞1，故x₁x₂＞e，②正確；
當k由小變大時，x₁逐漸增大，而x₂逐漸減小，故

x2

x1

逐漸減小，③正確
記h（x）=

lnx

x-1

=

lnx-ln1

x-1

，表示g（x）=lnx上的動點（x，lnx）與定點（1，0）連線的斜率
由于g（x）=lnx是凸函數，于是h（x）是減函數，④正確
故答案為②③④．

點評：本題是函數與方程的綜合問題，主要考查利用導數求函數的極值問題，考查學生數形結合思想的運用能力及運算求解能力，屬于難題．