Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的序號(hào)）．
①

b

a

cosC＜1-

c

a

cosB；
②△ABC的面積為S_△ABC=

1

2

AB

•

AC

•tanA；
③若acosA=ccosC，則△ABC一定為等腰三角形；
④若A是△ABC中的最大角，則△ABC為鈍角三角形的充要條件是-1＜sinA+cosA＜1；
⑤若A=

π

3

，a=

3

，則b的最大值為2．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：解三角形

分析：①利用正弦定理與兩角和的正弦可得sin（B+C）=sinA＜sinA，可判斷①；
②當(dāng)A=

π

2

時(shí)，tanA無(wú)意義可判斷②；
③利用正弦定理與二倍角的正弦可判斷③；
④若A為鈍角，利用三角恒等變換可得-1＜sinA+cosA＜1，可判斷④；
⑤利用正弦定理可得b=

asinB

sinA

≤

a

sinA

=

3

3 2

=2，可判斷⑤．

解答： 解：對(duì)于①，在△ABC中，∵

b

a

cosC＜1-

c

a

cosB，
∴bcosC+ccosB＜a，
由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB＜sinA，即sin（B+C）=sinA＜sinA，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，當(dāng)A=

π

2

時(shí)，tanA無(wú)意義，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，若acosA=ccosC，則sin2A=sin2C，所以A=C或A+C=

π

2

，
所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，故③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若A為鈍角，則A+

π

4

∈（

3π

4

，

5π

4

），
∴sin（A+

π

4

）∈（-

2

2

，

2

2

），
∴

2

sin（A+

π

4

）∈（-1，1），
即（sinA+cosA）∈（-1，1），
∴△ABC為鈍角三角形的充要條件是-1＜sinA+cosA＜1，④正確；
對(duì)于⑤，若A=

π

3

，a=

3

，則由

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

≤

a

sinA

=

3

3 2

=2，
即b的最大值為2，故⑤正確．
故答案為：④⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形，著重考查正弦定理的應(yīng)用，考查兩角和的正弦與正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，是易錯(cuò)題．