Question

已知函數(shù)的圖象過坐標原點，且在點（-1，f（-1））．處的切線的斜率是-5，函數(shù)f（x）=

-x3+x2+bx+c，x＜1 alnx，x≥1

（Ⅰ）求實數(shù)b，c的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,分類討論,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）當x＜1時，由f（x）=-x³+x²+bx+c，知f′（x）=-3x²+2x+b．依題意f′（-1）=-5，故b=0，再由f（0）=0，能求出c=0；
（Ⅱ）當x＜1時，由f（x）=-x³+x²，知f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，得x=0，x=

2

3

．列表討論，得f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

27

；f（1）=0．由此進行分類討論，能求出f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由于函數(shù)的圖象過坐標原點，
則f（0）=0，即有c=0，
x＜1時，f′（x）=-3x²+2x+b，
f（x）在點（-1，f（-1））處的切線的斜率是-5，
則-3-2+b=-5，解得，b=0，
故b=0，c=0；
（Ⅱ）f（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x＞1

，
當x＜1時，f（x）=-x³+x²，
f′（x）=-3x²+2x，令f′（x）=0，有-3x²+2x=0，
∴x=0，x=

2

3

．

x	-1	（-1，0）	0	（0， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	2	↘		↗		↘

f（-1）=2；f（0）=0；f（

2

3

）=

4

27

；f（1）=0．
∴當x∈[-1，1）時，f（x）最大值為2．
當x∈[1，2]時，
當a＜0時，f（x）是減函數(shù)；當a=0時，f（x）=0，此時f（x）_max=0；
當a＞0時，f（x）是增函數(shù)，f（x）_max=f（2）=aln2．
∵當a≤

2

ln2

時，有2≥aln2，f（x）_max=2，
當a＞

2

ln2

時，有2＜aln2，f（x）_max=aln2．
∴f（x）_max=

2(a≤ 2 ln2 ) aln2(a＞ 2 ln2 )

．

點評：本題考查利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程的求法，具體涉及到導數(shù)的應用、函數(shù)的性質，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．易錯點是分類不清導致出錯．