Question

11．設函數(shù)f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1，
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）先求導數(shù)fˊ（x），求出f′（x）=0的值，然后討論a=1與a＞1兩種情形，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，從而的函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論a=1與a＞1兩種情形，根據(jù)（I）可知f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，從而的函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=2x³-3（a-1）x²+1，其中a≥1．
∴f′（x）=6x[x-（a-1）]，
令f′（x）=0，解得   x₁=0，x₂=a-1．
（1）當a=1時，f′（x）=6x²，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
當a＞1時，f′（x）=6x[x-（a-1）]，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

從上表可知，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
在（0，a-1）上單調(diào)遞減；在（a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）知，
當a=1時，函數(shù)f（x）沒有極值．
當a＞1時，函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，在45⁰處取得極小值1-（a-1）³．

點評 本題主要考查了函數(shù)的極值，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎知識，考查綜合利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．